Composizione fra funzioni

Oltre a sommare o fare prodotti fra funzioni è possibile anche comprorre funzioni.
Cioè crare una nuova funzione che abbina a ogni valore dell'immagine della prima funzione un valore dell'immagine della seconda funzione. $$ f_1: A_1\to R, f_2: A_2\to R \\ f_1(A_1) \subset A_2 \Rightarrow \\ f_2(f_1(x)) = (f_2 \circ f_1)(x) \\ (f_2 \circ f_1) \ne (f_1 \circ f_2) \\ $$

Esempio

$$ f_1: x \mapsto x+1 \\ f_2: x \mapsto 2x \\ \begin{cases} (f_2 \circ f_1)(x) \mapsto 2(f_1(x)) = 2(x + 1) & = 2x + 2 \\ (f_1 \circ f_2)(x) \mapsto f_2(x) + 1 & = 2x + 1 \\ \end{cases} $$

Continuità della composizione di funzioni continue

Se compongo funzioni continue, la composizione è a sua volta continua

$$ f_1 : A_1 \to R; f_1(x_0) = y0 \\ f_2 : A_2 \to R \\ f_1(A_1) \subseteq A_2 \\ (f_2 \circ f_1)(x) = f_2(f_1(x)) \\ f_1(x) \in A_2. \forall y \in If_1; y \in A_2 \Rightarrow f_2(y) \text{ è contiua} \Rightarrow \\ (f_2 \circ f_1)(x) \text{ è continua} \\ $$

Maggioranza fra funzioni

Le funzioni reali abbinano a un numero reale del proprio dominio un ulteriore numero reale nella loro immagine.
Di conseguenza alcune proprietà che sono state identificate per i domini delle funzioni possono essere applicate alle funzioni stesse (alla loro immagine).
Posso quindi definire il rapporto di maggioranza fra funzioni $$ f, g: A \mapsto R \\ f \ge g \Rightarrow \\ \forall x \in A; f(x) \ge g(x) \\ $$ Allo stesso modo posso definire il concetto di minorante.

Proprietà delle funzioni maggioranti

• Se ho una funzione $f(x) \ge g(x) = C$ allora il $\lim{f(x)} \gt C$
• Data una funzione $f(x)$ che converge a un limite $L \gt c$, al tendere di $x$ a un punto di accumulazione del dominio della funzione, l'immagine della funzione in un adeguato intorno del punto $x$ sarà maggiore di $c$

Teorema dei due carabinieri

Se una funziona è compresa fra due funzioni convergenti allo stesso limite, questa funzione convergerà al medesimo limite.

$$ f, g, h: A \mapsto R, x_0 \text{ punto di accumulazione} \\ \forall x \in A^*(x_0, \delta); \\ f(x) \le g(x) \le h(x); \\ \lim{f(x)} = \lim{h(x)} = L \Rightarrow \exists \delta; \\ \epsilon - \delta \le \lim{f(x)} \le \lim{g(x)} \le \lim{h(x)} \le \epsilon + \delta \\ $$

Un corollario di questo teorema è:
Se una funzione è minorata da una funzione che diverge positivamente allora divergerà positivamente.
Se una funzione è maggiorata da una funzione che diverge negativamente allora divergerò negativamente.

Continuità della funzione esponenziale

Voglio dimostrare la continuità della funzione esponenziale $$ f: x \mapsto a^x; a>1 \\ x > x_0; \\ 0 \lt a^x - a^{x_0} \lt \epsilon \\ a^{x-x_0+x_0} - a^{x_0} \\ a^{x_0}(a^{x-x_0} -1) \\ x - x_0 \le 1/n \Rightarrow n=\left[\frac1{x-x_0} \right] \\ 0 \le a^{x_0}(a^{1/n}-1) \le \epsilon\\ 0 \le a^{x_0}(\sqrt[n]{a}-1) \le \epsilon \\ 0 \le a^{x_0}(\sqrt[n]{a}-1) \le a^{x_0}\frac{a-1}{n} \\ $$ Quest'ultima quantità è una quantità arbitraria che dipende da $\epsilon$ quindi la mia tesi è dimostrata